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domingo, 7 de julio de 2013

ecuacionemptyschrodinger


El desarrollo de la física cuántica a introducido nuevas formas de comprender los fenómenos que rodean el comportamiento de las partículas elementales. Se ha visto que las ondas electromagnéticas poseen cualidades de partículas energéticas, así como los electrones poseen propiedades de ondas, es decir, es posible asignarles una frecuencia angular y una contante de movimiento determinada, pero además es imposible establecer un punto exacto del espacio donde se encuentra la partícula. La fusión definitiva que cuantifica estas ideas, a sido conseguida gracias a estudios científicos desarrollados por Erwin Schrodinger, llamádola ecuación de onda, la cual incluye en comportamiento ondulatorio de las partículas y la fusión de la probabilidad de su ubicación.
Es cierto que la búsqueda de la solución de esta ecuación es en el extremo complicada, pero para situaciones reales es de gran utilidad para establecer un estudio matemático riguroso de modelos físicos.

POSTULADOS DE LA ECUACION DE ONDA DE SCHRODINGER
1. - Cada partícula del sistema físico se describe por medio de una onda plana descrita por una funcio denotada por Y(x, y, z, t); esta función y sus derivadas parciales son continuas, finitas y de valores simples.
2. - Las cantidades clásicas de la energía (E) y del momentum (P), se relacionan con operadores de la mecánica cuántica definida de la siguiente manera.
3. - La probabilidad de encontrar una partícula con la función de onda en el espacio viene dada por:

Donde Y *(x, y, z, t) es la conjugada compleja de Y (x, y, z, t) y se cumple que

Y (x, y, z, t) Y *(x, y, z, t) = | Y (x, y, z, t)|².
DETERMINACIÓN DE LA ECUACION DE SCHRODINGER 
La energía total de la partícula se expresa como:
E = Ep + Ec

donde Ep es la energía potencial y Ec es la energía cinética:

Utilizando los operadores cuánticos para Ep constante:

Multiplicando por la función de onda Y (r, t) obtenemos la función de Schrödinger en el espacio r:

Para ampliar este resultado se emplea el operador de Laplace:

Obteniendo la Ecuación General de Schrödinger:
DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN: 
Aplicando el artificio del producto A = B. C, se puede decir lo siguiente:

Y (x,t) = f (x) f(t)
f (x) : Depende del espacio.
f(t): Depende del tiempo.
Por lo tanto:

agrupando los elementos que dependen del tiempo en el miembro de la izquierda de la igualdad y los que dependen del espacio en el otro miembro se obtiene:
C0 = C0
Co es una constante independiente.
ECUACION DE SCHRÖDINGER DEPENDIENTE DEL ESPACIO


La solucion de esta ecuación diferencial es la siguiente:

ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO


Co es energía, de acuerdo al resultado:

DETERMINACION DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
PARA UNA PARTÍCULA LIBRE

Una partícula libre es aquella que se encuentra en un medio donde no existen campos externos que distorsionen el campo de materia de la partícula, por lo tanto su energía potencial es cero y su energía total es de movimiento:

De la física cuántica se obtuvo el vector de onda o numero de onda K expresado de la siguiente manera:


Esta es la ecuación diferencial de onda plana

Ec » K2


La solución a la ecuación de Scrödinger independiente del tiempo es:

como Y (r, t) = f (r) f(t), entonces:
Onda incidente + Onda plana reflejada

Esta es la solución general de la ecuación de Schrödinger.

LA PARTÍCULA EN EL POZO DE POTENCIAL UNIDIMENSIONAL
Partiendo de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:


Con las condiciones:
X = 0 Þ Ep = ¥ Ù f (0) = 0
X = a Þ Ep = ¥ Ù f (a) = 0
Ep = 0 en 0 < x < a pero f (x) es diferente de cero


Dentro de un Pozo de Potencial, la partícula se analiza como libre, entonces es válida la función de onda plana:
DETERMINACIÓN DE LAS CONSTANTES A Y B

f (x) = Asen(d + Kx)
  
Siguiendo las condiciones de borde se obtiene lo siguiente:
X = 0 Þ Ep = ¥ Þ f (o) = 0
f (o) = 0 = A1sen ( d + K 0 )
0 = A1sen d, con A1 ¹ 0 Þ d = 0
X = a Þ Ep = ¥ y f (a) = 0
f (a) = A1sen (Ka) = 0 Þ Ka = n p

Por lo tanto la energía de la partícula dentro del pozo de potencial toma solo valores discretos, lo que está de acuerdo con la física cuántica.
Con estos resultados, se obtiene para la función de onda plana la siguiente expresión:

f (x)= Es la amplitud de la probabilidad de encontrar una partícula con la función onda dentro del pozo de potencial.
|f (x) |² es la densidad de esta probabilidad.
Como la partícula se encuentra dentro del pozo entonces la probabilidad de encontrarla ahí es del 100%

FUNCIÓN DE ONDA PLANA DE LA PARTÍCULA LIBRE EN EL POZO DE POTENCIAL


modeloemptymecanicoemptycuantico


Quienes sentaron las bases del nuevo modelo mecanico cúantico fueron tres científicos:

a) En 1924, Louis de Broglie, postuló que los electrones tenían un comportamiento dual de onda y partícula. Cualquier partícula que tiene masa y que se mueve a cierta velocidad, también se comporta como onda.

b) En 1927, Werner Heisenberg, sugiere que es imposible conocer con exactitud la posición, el momento y la energía de un electrón. A esto se le llama "principio de incertidumbre"

c) En 1927, Erwin Schrödinger, establece una ecuación matemática que al ser resuelta permite obtener una función de onda (psi cuadrado) llamada orbital. Esta describe probabilisticamente el comportamiento de un electrón en el átomo. Esta función es llamada densidad electrónica e indica la probabilidad de encontrar un electrón cerca del núcleo. La probabilidad es mayor mientras más cercana al núcleo y menor si nos alejamos del núcleo. Con esta teoría de Schrödinger queda establecido que los electrones no giran en orbitas alrededor del núcleo como el modelo de Bohr, sino en volumenes alrrededor del núcleo.

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Números Cuánticos


La distribución de los electrones alrededor del núcleo obedece a una serie de reglas que se traducen en un modelo matemático que reconoce 4 números cuánticos:

1. Número cuántico principal (n): corresponde a los niveles de energía. Estos niveles aumentan de tamaño a medida que nos alejamos del núcleo. Posee valores n=1, 2, 3, 4, 5, 6,...

2. Número cuántico secundario (l): representa la existencia de subniveles de energía dentro de cada nivel. Se calculan considerando l = 0, 1, 2, 3, 4
Así, para n=1...l =0 ( "s" )
para n=2 .........l = 0, 1 ( "s", "p" )
para n=3 .........l = 0, 1, 2 ( "s", "p", "d" )
para n=4 .........l = 0, 1, 2, 3, 4 ("s", "p", "d", "f" )

3. Número magnético (m): representa la orientación de los orbitales y se calcula m=+/- l
si l = 0, m=0 es decir 1 solo tipo de orbital s
si l = 1, m =-1, 0, +1 es decir 3 tipos de suborbitales p (px, py y pz)
si l = 2, m = -2, -1, 0, +1, +2 es decir 5 tipos de suborbitales d (du, dv, dx, dy, dz)
si l = 3, m = -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 es decir 7 tipos de suborbitales f (fs, ft, fu, fv, fx, fy y fz)

4. Número de spin (s): indica la cantidad de electrones presentes en un orbital y el tipo de giro de los electrones, habiendo dos tipos +1/2 y -1/2. En cada tipo de suborbital cabe máximo 2 electrones y estos deben tener spines o girpos opuestos.


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Configuración electrónica


Una configuración electrónica es la forma de llenado de los orbitales y suborbitales para completar un átomo. La configuración electrónica se logra en base a ciertas reglas llamadas "Principio de Aufbau" o "Principio de Construcción".
a) Principio de Mínima energía: "Los electrones se ubican primero en los orbitales de más baja energía (más cerca del núcleo) y los de mayor energía se ocupan cuando los primeros estan ocupados"
b) Principio de exclusión de Pauli: "Los orbitales son ocupados por dos electrones como máximo, siempre que presenten espines distintos".
c) Principio de Máxima multiplicidad de Hund: "En orbitales de la misma energía los electrones entran de a uno. Ocupando cada órbita con el mismo spin. Cuando se alcanza el semillenado, recién se produce el apareamiento con los espines opuestos".


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Estructura electrónica de los elementos químico

H (1) = 1s1

He (2) = 1s2
Li (3) = 1s2 2s1
Be (4) = 1s2 2s2
B (5) = 1s2 2s2 2px1
C (6) = 1s2 2s2 2px1 2py1
N (7) = 1s2 2s2 2px1 2py1 2pz1
O (8) = 1s2 2s2 2px2 2py1 2pz1
F (9) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz1
Ne (10) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2
Na (11) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s1
Mg (12) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2
Al (13) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px1
Si (14) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px1 3py1
P (15) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px1 3py1 3pz1
S (16) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px2 3py1 3pz1
Cl (17) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px2 3py2 3pz1
Ar (18) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px2 3py2 3pz2
K (19) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px2 3py2 3pz2 4s1
Ca (20) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px2 3py2 3pz2 4s2
Sc (21) = 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s2 3px2 3py2 3pz2 4s2 3dv1
......

Contínue Usted.


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Formas de escribir la configuración electrónica


Hay 4 métodos:

1. Global: en ella se disponen los electrones según la capacidad de nivel y subniveles.
Ejemplo: 1s2 2s2 2p6 3s1

2. Global externa: se indica en un corchete el gas noble anterior anterior al elemento configurado y, posteriormente, los niveles y subniveles que no están incluiudos en ese gas noble y pertenecen al elemento configurado. 
Ejemplo: [Ne] 3s1

3. Detallada: se indica la ubicación de los electrones por cada orbital.
Ejemplo: 1s2 2s2 2px2 2py2 2pz2 3s1

4. Diagrama de orbitales: Cada orbital se simboliza por un casillero, utilizando flecha hacia arriba o flecha hacia abajo para representar la disposición del espín de cada electrón.
Ejemplo: (ver en foto superior).

modeloemptysommerfeld


teoriaemptycuanticaemptydeemptyplanck


Cuando un cuerpo es calentado emite radiación electromagnética en un amplio rango de frecuencias.
El cuerpo negro (ideal) es aquel que además absorbe toda la radiación que llega a él sin reflejarla, de tal forma que sólo emite la correspondiente a su temperatura.
A fines del siglo XIX fue posible medir la radiación de un cuerpo negro con mucha precisión. La intensidad de esta radiación puede en principio ser calculada utilizando las leyes del electromagnetismo. El problema de principios del siglo XX consistía en que si bien el espectro teórico y los resultados experimentales coincidían para bajas frecuencias (infrarrojo), estos diferían radicalmente a altas frecuencias. Este problema era conocido con el provocativo nombre de “la catástrofe ultravioleta”, ya que la predicción teórica diverge a infinito en ese límite.
Quien logró explicar este fenómeno fue Max Planck, en 1900, que debió para ello sacrificar los conceptos básicos de la concepción ondulatoria de la radiación electromagnética.
Para resolver la catástrofe era necesario aceptar que la radiación no es emitida de manera continua sino en cuantos de energía discreta, a los que llamamos fotones.
La energía de estos fotones es:
E (fotón) = h.ν
ν : Frecuencia de la radiación electromagnética (s-1)
h : constante de Planck
h = 6,62.10-27 erg.s
h = 6,62.10-34 J.s

Cuando la frecuencia de la radiación es baja el efecto de la discretización se vuelve despreciable debido al minúsculo valor de la constante de Planck, y es perfectamente posible pensar al sistema como continuo, tal como lo hace el electromagnetismo
clásico. Sin embargo, a frecuencias altas el efecto se vuelve notable.
En 1905Einstein utilizaría el concepto de fotón para explicar otro fenómeno problemático en el marco de la física clásica, la generación de una corriente eléctrica al aplicar luz monocromática sobre un circuito formado por chapas metálicas, conocido como el efecto fotoeléctrico. Einstein obtendría tiempo después el Premio Nobel por este importante hallazgo teórico.



Cuando los sólidos se someten a calentamiento, emiten radiación electromagnética que abarca una amplia gama de longitudes de onda. La luz rojiza tenue de un calentador eléctrico o la luz blanca brillante de unalámpara de tungsteno son algunos ejemplos de radiación que emiten los sólidos calentados.
Las mediciones hechas en la última parte del siglo XIX, mostraron que la cantidad de energía radiante que emitía un objeto a una cierta temperatura, dependía de su longitud de onda. Sin embargo, la explicación de esta dependencia con la teoría ondulatoria establecida  y con las leyes de la termodinámica no era del todo satisfactoria. Una de las teorías explicaba la dependencia de la longitud de onda corta pero no la de longitudes de onda más largas. Otra teoría explicaba la dependencia de longitudes más largas, pero no la de las cortas. Era como si faltara algo fundamental en las leyes de la física clásica.
Planck resolvió el problema con una suposición que se apartaba en forma radical de los conceptos establecidos. La física clásica asumía que los átomos y las moléculas emi­tían (o absorbían) cualquier cantidad arbitraria de energía radiante. En cambio, Planck proponía que los átomos y las moléculas emitían (o absorbían) energía sólo en cantidades discretas, como pequeños paquetes o cúmulos. A la mínima cantidad de energía que se podía emitir (o absorber) en forma de radiación electromagnética, Planck la llamó cuanto. La energía E de sólo un cuanto de energía está dada por
ecuación.4
donde h es la constante de Planck, cuyo valor es de 6.63 X 10~34J s, y v es la frecuencia de la radiación.

De acuerdo con la teoría cuántica, la energía siempre se emite en múltiplos de hv, por ejemplo, hv, 2hv,<3hv,… etcétera, pero nunca en cantidades tales como 1.67 hv o 4.98 hv. Cuando Planck presentó su teoría, no podía explicar por qué las energías debían ser fijas (finitas), o cuantizadas. Sin embargo, con esta hipótesis no tuvo problemas para correlacionar los datos experimentales de las emisiones de los sólidos en toda la gama de longitudes de onda; todas se explicaban con la teoría cuántica.

espectroemptyeletromagnetico


naturalezaemptydualempty


En los siglos XVIII y XIX, se apuntaba hacia la idea de que la luz poseía una naturaleza ondulatoria, es decir se podía representar mediante la ecuación de una onda que se caracteriza por tener una serie de parámetros como:

  • λ ‑ Longitud de ondaDistancia entre dos máximos consecutivos, (se miden en Aº debido a que dichas distancias son muy pequeñas).
  • T ‑ Períodotiempo en el que la onda recorre un espacio igual a la longitud de onda. Se mide en segundos.
  •  ‑ FrecuenciaEs el número de longitudes de onda que pasan por un determinado punto en un segundo. Se mide en Hz (hertz o sg‑1 ). Evidentemente es la inversa del período.
  •  - Número de ondaEs el número de longitudes de onda que hay en un centímetro, (se mide en cm‑1) y es la inversa de la longitud de onda.
          

Estos enunciados, para el caso de la luz, se pueden expresar matemáticamente de la siguiente manera: la luz por propagarse con M.R.U. cumple la ecuación: v = e/t, y como v = c = 3.108 m/s, y e = λ para t = T, se puede poner que:
 
es decir:
A principios del siglo XX, Planck y Einstein encontraron que la teoría ondulatoria de la luz no explicaba ciertos hechos experimentales. Por ejemplo, cuando se irradia luz sobre la superficie de ciertos metales, estos emiten electrones. Este hecho no sería extraño si se pensase que la luz como fuente de energía interactúa con la materia arrancando electrones. Por lo tanto, sería de esperar que si se aumentase la intensidad de la luz, los electrones saliesen con más velocidad, sin embargo, lo que ocurre, es que ha medida que aumenta la intensidad de la luz, el número de electrones que salen aumenta, pero todos ellos salen con la misma velocidad y para conseguir que aumente la velocidad de salida de los electrones hay que aumentar la frecuencia de la luz suministrada.
Este fenómeno fue explicado por Planck en 1900 imaginando que la luz está compuesta por paquetes de ondas llamados cuantos o fotones, es decir, que la luz posee una naturaleza corpuscular. Cada fotón posee una determinada energía que sólo depende de su frecuencia:
 
donde“u”es la frecuencia de la luz y “h” la llamada constante de Planck cuyo valor es de 6'67.10-34 J.s. A mayor frecuencia mayor energía de la luz incidente y como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, a menor longitud de onda, mayor energía. En el siguiente gráfico se muestra desde las ondas menos energéticas, que son las ondas de radio hasta las más energéticas que son los rayos γ:

Para liberar un electrón hace falta una energía mínima h..υo, donde υo es la frecuencia umbral y por debajo de ella no se arrancan electrones. A medida que la frecuencia aumenta, la energía es mayor y por tanto la velocidad de salida de los e aumenta. Sin embargo, si aumenta la intensidad de la luz se aumenta el número de fotones, pero no la energía de éstos, por lo tanto saldrán más e- pero todos con la misma velocidad.
Hay ciertos fenómenos de la luz que no se pueden explicar por la teoría corpuscular de la luz y sólo son explicables atendiendo a la teoría ondulatoria, por eso se habla de la naturaleza dual de la luz (onda y corpúsculo).
Se ha observado que cuando la luz interactúa con los átomos, éstos absorben radiación electromagnética incluso por debajo de la frecuencia umbral, sin embargo, cada átomo absorbe únicamente luz de determinadas frecuencias. Hay aparatos que registran estas frecuencias o longitudes de onda de la radiación absorbida, denominados espectroscopios.